广义积分
$$ \large \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x $$被称为狄利克雷积分 如果要求出这个积分的值，直接求出原函数是比较困难的，原函数无法用基本初等函数表示 我们可以引入一个参数$ a $，以及关于$ a $的函数
$$ \large I(a)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot e^{-ax}\mathrm{d}x $$$ I(0) $即为狄利克雷积分，我们只需求出$ I(a) $的表达式即可 对$ I(a) $求导
$$ \large \begin{align*} I'(a) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot e^{-ax}\mathrm{d}x\\[4mm] &=\int_0^{+\infty}\frac{\partial}{\partial a}\left(\frac{\sin x}{x}\cdot e^{-ax}\right)\mathrm{d}x\\[4mm] &= \int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\partial}{\partial a}\left(e^{-ax}\right)\mathrm{d}x\\[4mm] &=\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot (-xe^{-ax})\mathrm{d}x\\[4mm] &=-\int_0^{+\infty}\sin x \cdot e^{-ax}\mathrm{d}x \end{align*} $$公式：
$$ \large \int \sin ax \cdot e^{bx}\mathrm{d}x=\frac{1}{a^2+b^2} \cdot \begin{vmatrix} (e^{bx})' & (\sin ax)'\\[4mm] e^{bx} & \sin ax \end{vmatrix}+C $$利用上述公式，可得出
$$ \large \begin{align*} I'(a)&=-\int_0^{+\infty}\sin x \cdot e^{-ax}\mathrm{d}x\\[4mm] &=-\frac{1}{1+(-a)^2} \cdot \begin{vmatrix} (e^{-ax})' & (\sin x)'\\[4mm] e^{-ax} & \sin x \end{vmatrix}\bigg|_0^{+\infty}\\[6mm] & =-\frac{-ae^{-ax}\sin x-e^{-ax}\cos x}{1+a^2}\bigg|_0^{+\infty}\\[4mm] &=-\frac{1}{1+a^2} \end{align*} $$对上次进行积分，即可求出$ I(a) $
$$ \large \begin{align*} I(a)&=\int \left(-\frac{1}{1+a^2}\right)\mathrm{d}a\\[4mm] &=C-\arctan a \end{align*} $$为了求出常数$ C $，对上式取极限
$$ \large \lim_{a \to +\infty} I(a)=\lim_{a \to +\infty}\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot e^{-ax}\mathrm{d}x=0 $$由前面得出的结论，可知
$$ \large \lim_{a \to +\infty} I(a)=\lim_{a \to +\infty} (C-\arctan a)=C-\frac{\pi}{2}=0\\[4mm] C=\frac{\pi}{2}\\[4mm] I(a)=\frac{\pi}{2}-\arctan a\\[4mm] I(0)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2} $$