1的无理数次方是否等于1？

我们都知道，1的任意次方都等于1，但是有没有不等于1的时候呢？
答案是肯定的，在复数域内，1的无理数次方不一定等于1
$$
\huge
\begin{align*}
& 1^{\sqrt{2}}\newline
= & e^{\sqrt{2}\ln 1}\newline
= & e^{\sqrt{2}\ln(\cos 2k\pi + i\sin 2k\pi)}\newline
= & e^{\sqrt{2}\ln e^{2k\pi i}}\newline
= & e^{2k\pi i\sqrt{2}}\newline
= & \cos\left(2k\pi\sqrt{2}\right)+i\sin\left(2k\pi\sqrt{2}\right)
\end{align*}
$$
其中$ k $是任意整数，$ i^2=-1 $